Question

设A₁、A₂与B分别是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右顶点与上定点，直线A₂B与圆C：x²+y²=1相切．
（1）求证：

1

a2

+

1

b2

=1；
（2）P是椭圆E上异于A₁、A₂ 的一点，直线PA₁、PA₂的斜率之积为-

1

3

，求椭圆E的方程；
（3）直线l与椭圆E交于M、N两点，且

OM

•

ON

=0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题设知A₁（-a，0），A₂（a，0），B（0，b），故直线A₂B的方程是

x

a

+

y

b

=1，再由直线A₂B与圆C：x²+y²=1相切，能够证明

1

a2

+

1

b2

=1．
（2）设P（x₀，y₀），则直线PA₁，PA₂的斜率之积为kPA1•kPA2=

y0

x0+a

•

y0

x0-a

=

y02

x02-a2

=-

1

3

，由此能够求出椭圆E的方程．
（3）设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设直线l为y=kx+m，由y=kx+m代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得

x2

a2

+

(kx+m)2

b2

=1，由此能够推导出直线l与圆C相切．若直线l的斜率不存在同样能够导出直线l与圆C相切．

解答：（1）证明：∵A₁、A₂与B分别是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右顶点与上定点，
∴A₁（-a，0），A₂（a，0），B（0，b），
∴直线A₂B的方程是

x

a

+

y

b

=1，
∵直线A₂B与圆C：x²+y²=1相切，
∴

1

1 a2 + 1 b2

=1，故

1

a2

+

1

b2

=1．
（2）解：设P（x₀，y₀），则直线PA₁，PA₂的斜率之积为：
kPA1•kPA2=

y0

x0+a

•

y0

x0-a

=

y02

x02-a2

=-

1

3

，

x02

a2

+

3y02

a2

=1，
∵

x02

a2

+

y02

b2

=1，∴b2=

1

3

a2，
结合

1

a2

+

1

b2

=1，得a2=4，b2=

4

3

，
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

3y2

4

=1．
（3）解：设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
①若直线l的斜率存在，设直线l为y=kx+m，
由y=kx+m代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得

x2

a2

+

(kx+m)2

b2

=1，
化简，得（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0（△＞0），
∴x1x2=

a2m2-a2b2

b2+a2k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=

a2k2m2-a2b2k2

b2+a2k2

+km（-

2a2km

b2+a2k2

）+m²
=

b2m2-a2b2k2

b2+a2k2

，
∵

OM

•

ON

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
代入，得（a²+b²）m²-a²b²（1+k²）=0，
∵

1

a2

+

1

b2

=1，∴m²=1+k²，
圆心到直线l的距离为d=

|m|

1+k2

=1，
所以，直线l与圆C相切．
②若直线l的斜率不存在，设直线l：x=n，
代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得y=±b

1- n2 a2

，
∴|n|=b

1- n2 a2

，∴a²n²=b²（a²-n²），
化简整理可得n²=

a2b2

a2+b2

，
又由（1）中的结论可知，

1

a2

+

1

b2

=1，即

a2b2

a2+b2

=1，
∴n²=1，
解得n=±1，所以直线l与圆C相切．

点评：本题考查椭圆方程的求法，判断直线与椭圆的位置关系，具体涉及到椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．