Question

空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别为AB、CD的中点， MN=7，求异面直线AC和BD所成的角.

 

Answer 1

解析:如图所示，取AD的中点P,

∵M、N分别为AB、CD中点,

∴PM∥BD，PN∥AC.

∴异面直线AC和BD所成的角α为∠MPN(或它的补角).

∵AC=10，BD=6，MN=7,

∴PN=AC=5,PM=BD=3.

在△PMN中，由余弦定理知

cos∠MPN=.

则cosα=,α∈（０，］,α=6０°.

故AC和BD所成的角为60°.

小结:求两条异面直线所成的角的一般步骤是:

(1)构造:根据异面直线定义，用平移法作出异面直线所成的角;

(2)认定:证明作出的角就是要求的角;

(3)计算:求角值，常利用三角形;

(4)结论.