Question

如图一，平行四边形ABCD关于直线AC对称，∠A=60°，∠C=90°，CD=2，把△ABD沿BD折起（如图二），使二面角A-BD-C的余弦值等于，对于图二，
（Ⅰ）求AC；
（Ⅱ）证明：AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）取BD的中点E，连接AE，CE，
由AB=CD，CB=CD，得，AE⊥BD，CE⊥BD
∴∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角，∴cos∠AEC=
在△ACE中，AE=，CE=，
=，∴AC=2
（Ⅱ）由
∴，，∴
∴，又BC∩CD=C，∴AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知BD⊥平面ACE，BD平面ABD，
∴平面ACE⊥平面ABD，平面ACE∩平面ABD=AE
作CF⊥AE于F，则CF⊥平面ABD
∠CAF就是AC与平面ABD所成的角，∴sin∠CAF=sin∠CAE=；
方法二：设点C到平面ABD的距离为h，
∵，∴
∴h=，于是AC与平面ABD所成角的正弦为sin=；
方法三：以CB，CD，CA所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立的空间直角坐标轴系C-xyz，
则A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，0，0），D（0，2，0）
设平面ABD的法向量为=（x，y，z），则·=0，·=02x-2z=0，y-2z=0
取 x=y=1，则=（1，1，1），于是AC与平面ABD所成角的正弦即：