Question

已知椭圆E:+=1(a＞b＞0),其左、右焦点为F₁(-c,0)、F₂(c,0)(c＞0).

(1)若F₂(2,0)关于直线y=x+的对称点在椭圆E上,求该椭圆E的方程;

(2)若椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点(如图),求这个平行四边形面积的最大值.

Answer 1

解：(1)设F₂(2,0)关于y=x+对称的点为(x₀,y₀),则

解得x₀=-2,y₀=.

所以将x₀=-2,y₀=

代入椭圆方程得+=1且a²-b²=4.

解得a²=9或a²=(舍去).所以椭圆的方程为=1.

(2)设AB:x=my+c,CD:x=my-c.

消去x,得(b²m²+a²)y²+2b²mcy-b⁴=0.

y₁+y₂=-,y₁y₂=-,

|AB|=2ab²,d=,

=4ab²c.

当≥1时, ≤4ab²c·=2ab;

当0＜＜1时, ≤4ab²c=.