Question

如图，一张平行四边形的硬纸片ABC₀D中，AD=BD=1，AB=

2

．沿它的对角线BD把△BDC₀折起，使点C₀到达平面ABC₀D外点C的位置．
（Ⅰ）△BDC₀折起的过程中，判断平面ABC₀D与平面CBC₀的位置关系，并给出证明；
（Ⅱ）当△ABC为等腰三角形，求此时二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

分析：（I）用勾股定理的逆定理，可证出AD⊥DB，C₀B⊥DB．因为在折叠过程中，所以DB始终与BC垂直，根据线面垂直的判定定理可得DB⊥平面CBC₀，最后用面面垂直的判定定理可得到平面ABC₀D与平面CBC₀互相垂直．
（II）以D为坐标原点，射线DA，DB分别为x轴正半轴和y轴正半轴，建立空间直角坐标系，从而得出A、B、D各点的坐标，再设点C（x，1，z），其中z＞0，根据BC=1和△ABC为等腰三角形建立关于x、z方程组，解之可得点C的坐标为(

1

2

，1，

3

2

)．最后用空间向量夹角的坐标公式，求出向量

DA

与

BC

夹角为60°，即为二面角A-BD-C的大小．

解答：解：（Ⅰ）结论：平面ABC₀D⊥平面CBC₀…（1分）
证明：∵AD=BD=1，AB=

2

．
∴AD²+BD²=2=AB²，可得∠ADB=90°，即AD⊥DB
∵四边形ABC₀D是平行四边形，∴AD∥C₀B，可得C₀B⊥DB．
而在折叠过程中，∠DBC=∠DBC₀=90°不变，所以DB⊥BC，
又∵DB⊥BC₀，BC、BC₀是平面CBC₀内的相交直线，∴DB⊥平面CBC₀．
∵DB?平面ABC₀D，所以平面ABC₀D⊥平面CBC₀．…（5分）
（Ⅱ）以D为坐标原点，射线DA，DB分别为x轴正半轴和y轴正半轴，建立如图的空间直角坐标系D-xyz，
则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，0，0）．…（6分）
由（Ⅰ）可设点C的坐标为（x，1，z），其中z＞0，
则有x²+z²=1．      ①
因为△ABC为等腰三角形，
所以AC=1或AC=

2

．…（8分）
若AC=1，则有（x-1）²+1+z²=1．
则此得x=1，z=0，不合题意．
若AC=

2

，则有（x-1）²+1+z²=2．      ②
联立①和②得x=

1

2

，z=

3

2

．
因此点C的坐标为(

1

2

，1，

3

2

)．
由于DA⊥BD，BC⊥BD，所以

DA

与

BC

夹角的大小等于二面角A-BD-C的大小．
∵

DA

=(1，0，0)，

BC

=(

1

2

，0，

3

2

)，
∴cos＜

DA

，

BC

＞=

DA • BC

| DA || BC |

=

1

2

．
所以＜

DA

，

BC

＞=60°，即二面角A-BD-C的大小为60°．…（12分）

点评：本题以一个平面翻折问题为载体，考查了空间的线面位置关系，考查了平面与平面垂直的判定和两个平面所成角的大小求法等知识，属于中档题．