Question

【题目】定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax2

（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；

（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；

（2）[﹣，﹣]．

【解析】

试题（1）当a=﹣1时，函数表达式为f（x）=1+x﹣x2，可得f（x）在（﹣∞，0）上是单调增函数，它的值域为（﹣∞，1），从而|f（x）|的取值范围是[0，+∞），因此不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（﹣∞，0）上的有界函数．

（2）函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，即﹣3≤f（x）≤3在[1，4]上恒成立，代入函数表达式并化简整理，得﹣﹣≤a≤﹣在[1，4]上恒成立，接下来利用换元法结合二次函数在闭区间上最值的求法，得到（﹣﹣）max=﹣，（﹣）min=﹣，所以，实数a的取值范围是[﹣，﹣]．

解：（1）当a=﹣1时，函数f（x）=1+x﹣x2=﹣（x﹣）2+

∴f（x）在（﹣∞，0）上是单调增函数，f（x）＜f（0）=1

∴f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（﹣∞，1）

因此|f（x）|的取值范围是[0，+∞）

∴不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（﹣∞，0）上的有界函数．

（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，

则|f（x）|≤3在[1，4]上恒成立，即﹣3≤f（x）≤3

∴﹣3≤ax2+x+1≤3

∴≤a≤，即﹣﹣≤a≤﹣在[1，4]上恒成立，

∴（﹣﹣）max≤a≤（﹣）min，

令t=，则t∈[，1]

设g（t）=﹣4t2﹣t=﹣4（t+）2+，则当t=时，g（t）的最大值为﹣

再设h（t）=2t2﹣t=2（t﹣）2﹣，则当t=时，h（t）的最小值为﹣

∴（﹣﹣）max=﹣，（﹣）min=﹣

所以，实数a的取值范围是[﹣，﹣]．