Question

【题目】已知圆，点，直线.

（1）求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；

（2）在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.

【答案】(1)；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：

（1）设所求直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径可得关于b的方程，解方程可得，则所求直线方程为

（2）方法1：假设存在这样的点，由题意可得，则，然后证明为常数为即可.

方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，据此得到关于的方程组，求解方程组可得存在点对于圆上任一点，都有为常数.

试题解析：

（1）设所求直线方程为，即，

∵直线与圆相切，∴，得，

∴所求直线方程为

（2）方法1：假设存在这样的点，

当为圆与轴左交点时，；

当为圆与轴右交点时，，

依题意，，解得，（舍去），或.

下面证明点对于圆上任一点，都有为一常数.

设，则，

∴ ，

从而为常数.

方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，

∴，将代入得，

，即

对恒成立，

∴，解得或（舍去），

所以存在点对于圆上任一点，都有为常数.

点睛：求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知函数的导函数为，其中为常数.

（1）当时，求的最大值，并推断方程是否有实数解；

（2）若在区间上的最大值为-3，求的值.

Answer 1

【答案】(1)，方程没有实数解；(2).

【解析】试题分析：

（1）当时，，.结合函数的单调性可得.

构造函数，则，利用导函数研究函数的单调性可得在上单调递增；在上单调递减，，据此可得方程没有实数解.

（2）由题意可得，，.据此分类讨论有：

①若，在上为增函数，不合题意.

②若，在上为增函数，在上为减函数，.令，可得.

综上可得.

试题解析：

（1）∵，∴.

当时，，.

当时，；当时，.

∴在上是增函数，在上是减函数，.∴.

又令，，令，得.

当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，

∴，∴，∴，即，

∴方程没有实数解.

（2）∵，，∴.

①若，则，在上为增函数，∴不合题意.

②若，则由 ，即，由 ，即.

从而在上为增函数，在上为减函数，∴.

令，则，∴，即.

∵，∴为所求.