Question

已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．
（1）证明nⁱP_mⁱ＜mⁱP_nⁱ；
（2）证明（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

Answer 1

【答案】分析：（1）先将要证的不等式变形为分别含m，n的式子，再利用排列数公式，据不等式的性质得证
（2）利用二项式定理再利用（1）的结论和排列数和组合数的关系得证．
解答：证明：（1）对于1＜i≤m有p_mⁱ=m••（m-i+1），，
同理，
由于m＜n，对整数k=1，2，i-1，有，
所以，即mⁱp_nⁱ＞nⁱp_mⁱ．
（2）由二项式定理有，
，
由（1）知mⁱp_nⁱ＞nⁱp_mⁱ（1＜i≤m＜n），
而，，
所以，mⁱC_nⁱ＞nⁱC_mⁱ（1＜i≤m＜n）．
因此，．
又mC_n=nC_m=1，mC_n¹=nC_m¹=mn，mⁱC_nⁱ＞0（1＜i≤m＜n）．
∴．
即（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．
点评：本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．