Question

6．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}{+2}^{-x}}$．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和值域；
（Ⅲ）解不等式|f（x²-x）|$＜\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）易得f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-{2}^{x}}{{2}^{-x}+{2}^{x}}$=-f（x），由奇函数的定义可得；
（Ⅱ）变形可得f（x）=1-$\frac{2}{{（2}^{x}）^{2}+1}$，由复合函数的单调性可得；
（Ⅲ）原不等式可化为-$\frac{1}{3}$＜f（x²-x）＜$\frac{1}{3}$，即f（-$\frac{1}{2}$）＜f（x²-x）＜f（$\frac{1}{2}$），由函数的单调性可得-$\frac{1}{2}$＜x²-x＜$\frac{1}{2}$，解关于x的不等式组可得答案．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，
∵f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-{2}^{x}}{{2}^{-x}+{2}^{x}}$=-f（x），
∴函数f（x）为R上奇函数；
（Ⅱ）变形可得f（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}{+2}^{-x}}$
=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}-2•{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$
=1-$\frac{2•{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=1-$\frac{2}{{（2}^{x}）^{2}+1}$，
当x＞0时，2^x随x的增大而增大，故（2^x）²也随x的增大而增大，
∴$\frac{2}{{（2}^{x}）^{2}+1}$随x的增大而减小，
故f（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}{+2}^{-x}}$=1-$\frac{2}{{（2}^{x}）^{2}+1}$随x的增大而增大，
∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增，
由函数为奇函数可得函数f（x）在（-∞，0）单调递增，
由f（x）为R上奇函数可得f（x）在R单调递增，
当x趋向于+∞时，函数趋向于最大值1，
由函数为奇函数可得函数的值域为（-1，1）；
（Ⅲ）验证可得f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{3}$，f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{3}$，
不等式|f（x²-x）|$＜\frac{1}{3}$可化为-$\frac{1}{3}$＜f（x²-x）＜$\frac{1}{3}$，
∴f（-$\frac{1}{2}$）＜f（x²-x）＜f（$\frac{1}{2}$），
由函数为单调递增函数可得-$\frac{1}{2}$＜x²-x＜$\frac{1}{2}$，
解关于x的不等式组可得{x|$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$}

点评 本题考查函数性质的综合应用，涉及函数的单调性和奇偶性以及不等式的解法，属中档题．