Question

已知函数f（x）=

2x-1

2x+1

．
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）判断f（x）的奇偶性与单调性；
（3）解关于x的不等式 f（x²-2x+2）+f（-5）＜0．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）运用指数函数的值域即可得到定义域，再由函数f（x），解得2^x，再令它大于0，即可得到值域；
（2）运用奇偶性的定义和单调性的定义，即可判断；
（3）运用（2）的结论，f（x²-2x+2）+f（-5）＜0即为f（x²-2x+2）＜-f（-5）=f（5），得x²-2x+2＜5，解出即可．

解答： 解：（1）f（x）的定义域是R，令y=

2x-1

2x+1

，得2^x=-

y+1

y-1

．
∵2^x＞0，∴-

y+1

y-1

＞0，解得-1＜y＜1．
∴f（x）的值域为{y|-1＜y＜1}；
（2）∵f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f（x），∴f（x）是奇函数．
∵f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，在R上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x2+1))(2x1+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(2x2+1))(2x1+1)＞0（2^x₁+1）＞0，
即有f（x₁）＜f（x₂），则f（x）在R上是增函数．
（3）由（2）得f（x）是奇函数，
且f（x）在R上是增函数．
则f（x²-2x+2）+f（-5）＜0即为f（x²-2x+2）＜-f（-5）=f（5），
得x²-2x+2＜5，即有x²-2x-3＜0，
解得-1＜x＜3，则不等式解集为（-1，3）．

点评：本题考查函数的定义域和值域的求法，考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查不等式的解法，属于中档题．