Question

【题目】在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，，点在线段上，且．

（）求证：．

（）求证：平面．

（）设平面平面，试问：直线是否与直线平行，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据正三角形性质得，再根据线面垂直性质得，由线面垂直判定定理得平面，即得．（2）根据计算得，根据比例关系得，再根据线面平行判定定理得结论，（3）先假设直线，根据线面平行判定定理得平面，再根据线面平行性质定理得，与题意矛盾，否定假设.

试题解析：（）证明：∵是正三角形，是中点，

∴，即，

又∵平面，平面，

∴．

又，

∴平面，

∵平面，

∴．

（）在正三角形中，，

在中，为中点，，

所以，，

所以，

所以．

在等腰直角三角形中，，，

∴，

又平面，平面，

∴平面．

（）假设直线，

∵平面，平面，

∴平面，

又平面，平面平面，

∴，

这与与不平行相矛盾，假设不成立．

∴直线与直线不平行．

点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.