Question

设数列{a_n}满足an+1=3an+2n(n∈N*)且a₁，a₂+5，a₃ 成等差数列．
（1）求a₁的值；
（2）求证：数列{an+2n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}满足an+1=3an+2n(n∈N*)，分别令n=1，2，又a₁，a₂+5，a₃ 成等差数列，可得2（a₂+5）=a₁+a₃，联立解得即可．
（2）由数列{a_n}满足an+1=3an+2n(n∈N*)，可得an+1+2n+1=3(an+2n)，因此数列{a_n+2ⁿ}是以a₁+2为首项，3为公比的等比数列．利用通项公式即可得出．

解答：解：（1）由数列{a_n}满足an+1=3an+2n(n∈N*)，分别令n=1，2可得a₂=3a₁+2，a₃=3a₂+4．
∵a₁，a₂+5，a₃ 成等差数列，∴2（a₂+5）=a₁+a₃，
联立

a2=3a1+2 a3=3a2+4 2(a2+5)=a1+a3

，解得a₁=1，a₂=5，a₃=19．
∴a₁=1．
（2）由数列{a_n}满足an+1=3an+2n(n∈N*)，可得an+1+2n+1=3(an+2n)，
∴数列{a_n+2ⁿ}是以a₁+2=3为首项，3为公比的等比数列．
∴an+2n=3×3n-1，
∴an=3n-2n．

点评：本题考查了数列的递推式、变形化为等比数列、等比数列的通项公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．