Question

已知α、β∈（0，π），tanα=-

1

3

，tan（α+β）=1．
（I）求tanβ及cosβ的值；
（II）求

1+ 2 cos(2β- π 4 )

sin( π 2 -β)

的值．

Answer 1

（I）tanβ=tan(α+β-α)=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)•tanα

=

1+ 1 3

1- 1 3

=2（3分）
∵β∈（0，π），tanβ＞0，∴β∈(0，

π

2

)，∴cosβ=

5

5

；（6分）
（II）sinβ=

1-cos2β

=

2 5

5

∴

1+ 2 cos(2β- π 4 )

sin( π 2 -β)

=

1+cos2β+sin2β

cosβ

=

2cos2β+2sinβcosβ

cosβ

=2cosβ+2sinβ=

6 5

5

．（12分）