Question

已知x0，x0+

π

2

是函数f(x)=cos2(ωx-

π

6

)-sin2ωx，(ω＞0)的两个相邻的零点，若对?x∈[-

7π

12

，0]，都有|f（x）-m|≤1，则实数m的取值范围为

[-

1

4

，1-

3

2

]

．

Answer 1

分析：利用二倍角的三角函数公式和辅助角公式，化简得f（x）=

3

2

sin（2ωx+

π

3

），根据函数的周期为π算出ω=1，从而得出f（x）=

3

2

sin（2x+

π

3

）．求出当x∈[-

7π

12

，0]时f（x）的值域，而不等式|f（x）-m|≤1恒成立即-1+m≤f（x）≤1+m恒成立，由此建立关于m的不等式组，解之即可得出实数m的取值范围．

解答：解：由题意，得
f(x)=cos2(ωx-

π

6

)-sin2ωx=

1

2

[1+cos(2ω-

π

3

)]-

1

2

(1-cos2ωx)
=

1

2

cos（2ωx-

π

3

）+

1

2

cos2ωx=

1

2

（cos2ωxcos

π

3

+sin2ωxsin

π

3

）+

1

2

cos2ωx
=

3

4

cos2ωx+

3

4

sin2ωx=

3

2

sin（2ωx+

π

3

）
∵x0、x0+

π

2

是函数f（x）的两个相邻的零点，
∴函数的周期T=π，可得

2π

2ω

=π，解之得ω=1，
因此，函数的解析式为f（x）=

3

2

sin（2x+

π

3

）．
当x∈[-

7π

12

，0]时，2x+

π

3

∈[-

5π

6

，

π

3

]，可得sin（2x+

π

3

）∈[-1，

3

2

]
∴x∈[-

7π

12

，0]时，f（x）的值域为[-

3

2

，

3

4

]
∵对?x∈[-

7π

12

，0]，都有|f（x）-m|≤1即-1+m≤f（x）≤1+m，
∴-1+m≤-

3

2

且1+m≥

3

4

，解之得m∈[-

1

4

，1-

3

2

]．
故答案为：[-

1

4

，1-

3

2

]

点评：本题给出三角函数式满足的条件，求函数的解析式并解决不等式恒成立的问题．着重考查了三角函数的图象与性质、不等式等价变形等知识，属于中档题．