Question

已知函数f（x）=x³-3x，x∈[-2，2]和函数g（x）=ax-1，x∈[-2，2]，若对于?x₁∈[-2，2]，总?x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，则实数a的取值范围

(-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：根据对于?x₁∈[-2，2]，总?x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，得到函数f（x）在[-2，2]上值域是g（x）在[-2，2]上值域的子集，下面利用导数求函数f（x）、g（x）在[-2，2]上值域，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围

解答：解：∵f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3（x-1）（x+1），
当x∈[-2，-1]，f′（x）≥0，x∈（-1，1），f′（x）＜0；x∈（1，2]，f′（x）＞0．
∴f（x）在[-2，-1]上是增函数，（-1，1）上递减，（1，2）递增；
且f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2．
∴f（x）的值域A=[-2，2]；
又∵g（x）=ax+1（a＞0）在[-2，2]上是增函数，
∴g（x）的值域B=[-2a-1，2a-1]；
根据题意，有A⊆B
∴

-2a-1≤-2 2a-1≥2 a＞0

⇒a≥

3

2

．
同理g（x）=ax+1（a＜0）在[-2，2]上是减函数，
可以求出a≤-

3

2

．
故实数a的取值范围是：（-∞，-

3

2

]∪[-

3

2

，+∞）．
故答案为：（-∞，-

3

2

]∪[-

3

2

，+∞）．

点评：此题是个中档题．考查利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想．同时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，