Question

已知椭圆的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．若椭圆在第一象限的一点的横坐标为1，过点作倾斜角互补的两条不同的直线，分别交椭圆于另外两点，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：直线的斜率为定值；
（Ⅲ）求面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆的方程为．

由题意 ………………………2分
解得 ，．所以椭圆的方程为．……………4分
（Ⅱ）由题意知，两直线，的斜率必存在，设的斜率为，则的直线方程为.
由得
.………………6分
设，，则，同理可得，
则，.
所以直线的斜率为定值. ……………………8分
（Ⅲ）设的直线方程为.由得.
由，得.……………………10分
此时，.到的距离为，
则.
因为使判别式大于零，所以当且仅当时取等号，所以面积的最大值为．…12分

(1)由题目条件知，并且还知道, 从而解出a,b的值.
(2)先设直线PB的方程为， 它与椭圆方程联立，消去y后得关于x的一元二次方程，根据1和点B的横坐标为方程的两个根，借助韦达定理，求出B的横坐标，同时可求出A的横坐标，从而求出,再借助其直接方程可求出,证明出为定值.
(III) 设的直线方程为, 它与椭圆方程联立消y得关于x的一元二次方程,由弦长公式求出|AB|的长，然后再借助点到直线的距离公式求出高，从而用m表示出的面积.再利用函数的方法求最值即可
（Ⅰ）．（Ⅱ）为定值.（Ⅲ）面积的最大值为