Question

若△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且1-2sinBsinC=cos2B+cos2C-cos2A．
（1）求A的大小；
（2）求sinB+sinC的最值．

Answer 1

分析：（1）把已知的等式右边利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用正弦定理化为关于a，b及c的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把得到的关系式代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）根据（1）求出的A的度数，利用三角形的内角和定理，由B表示出C，把所求的式子利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，提取

3

，再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据B的范围求出B+30°的范围，利用正弦函数的值域即可得到所求式子的最大值，无最小值．

解答：解：（1）∵1-2sinBsinC=cos2B+cos2C-cos2A，
∴1-2sinBsinC=1-2sin²B+1-2sin²C-1+2sin²A，
由正弦定理可得：-2bc=-2b²-2c²+2a²，
整理得：b²+c²-a²=bc，（3分）
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∴A=60°；（6分）
（2）sinB+sinC=sinB+sin（120°-B）=sinB+

3

2

cosB+

1

2

sinB
=

3

2

cosB+

3

2

sinB=

3

（

1

2

cosB+

3

2

sinB）
=

3

sin（B+30°），（8分）
∵0°＜B＜120°，
∴30°＜B+30°＜150°，

1

2

＜sin（B+30°）≤1，
∴

3

2

＜

3

sin（B+30°）≤

3

，
∴sinB+sinC无最小值，最大值为

3

．（12分）

点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．