Question

函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，

OM

•

ON

的取值范围为（　　）

A．[12，+∞]

B．[0，3]

C．[3，12]

D．[0，12]

Answer 1

分析：判断函数的奇偶性，推出不等式，利用约束条件画出可行域，然后求解数量积的范围即可．

解答： 解：函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
所以f（x）为 奇函数．
∴f（x²-2x）≤f（-2y+y²）≤0，
∴x²-2x≥-2y+y²，
∴

x2-2x≥y2-2y 1≤x≤4

即

(x-y)(x+y-2)≥0 1≤x≤4

，画出可行域如图，
可得

OM

•

ON

=x+2y∈[0，12]．
故选D．

点评：本题考查函数的奇偶性，线性规划的应用，向量的数量积的知识，是综合题，考查数形结合与计算能力．