Question

关于函数y=f（x），有下列命题：
①若a∈[-2，2]，则函数f(x)=

x2+ax+1

的定域为R；
②若f(x)=log

1

2

(x2-3x+2)，则f（x）的单调增区间为(-∞，

3

2

)
③（理）若f(x)=

1

x2-x-2

，则

lim

x→2

[(x-2)f(x)]=0；
（文）若f(x)=

1

x2-x-2

，则值域是（-∞，0）∪（0，+∞）
④定义在R的函数f（x），且对任意的x∈R都有：f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），则4是y=f（x）的一个周期．
其中真命题的编号是

 

．（文理相同）

Answer 1

分析：①根据题意知设g（x）=x²+ax+1为开口向上的二次函数，当△≤0时，x²+ax+1≥0，f（x）有意义，解出△≤0求出a的解集即可；
②f（x）为对数函数，底数为

1

2

＜1，为单调递减函数，作出判断；③先化简（x-2）f（x）=

1

x+1

，对其求极限得

1

3

，得到答案错误；④根据题意可知f（x）为奇函数，且周期为2，则4是函数的一个周期．正确．

解答：解：①根据题意知设g（x）=x²+ax+1为开口向上的二次函数，当△≤0即a∈[-2，2]时，x²+ax+1≥0，f（x）有意义，所以此命题为真命题；②f（x）为对数函数，底数为

1

2

＜1，为单调递减函数，故函数没有递增区间，此命题为假命题；③先化简（x-2）f（x）=

1

x+1

，对其求极限得

1

3

，此命题为假命题；．④根据题意可知f（x）为奇函数，且周期为2，则4是函数的一个周期．此命题为真命题．所以真命题的编号为①④
故答案为①④

点评：考查学生函数的定义域及其求法的能力，以及函数的周期性、对数函数的单调区间、极限及其运算的能力．