题目内容

当0≤x≤1时，不等式sin
πx
2
≥kx成立，则实数k的取值范围是______．
由题意知：
∵当0≤x≤1时 sin
πx
2
≥kx
   （1）当x=0时，不等式sin
πx
2
≥kx恒成立  k∈R
   （2）当0＜x≤1时，不等式sin
πx
2
≥kx可化为
      k≤
sin
πx
2
x
 
     要使不等式k≤
sin
πx
2
x
恒成立，则k≤(
sin
πx
2
x
)min成立
     令f（x）=
sin
πx
2
x
  x∈（0，1]
     即f'（x）=
π
2
xcos
πx
2
 -sin
πx
2
x2
            再令g（x）=
π
2
 xcos
πx
2
-sin
πx
2
     
     
     g'（x）=-
π2
4
xsin
πx
2
   
∵当0＜x≤1时，g'（x）＜0
∴g（x）为单调递减函数
∴g（x）＜g（0）=0
∴f'（x）＜0
   即函数f（x）为单调递减函数
   所以 f（x）min=f（1）=1      即k≤1
   综上所述，由（1）（2）得  k≤1
   故此题答案为 k∈（-∞，1]．
练习册系列答案
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将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：
（1）6是12和18的公约数；
（2）当a＞-1时，方程ax2+2x-1=0有两个不等实根；
（3）已知x、y为非零自然数，当y-x=2时，y=4，x=2．
设f(x)=
2-x+a
1+x
（a为实常数），y=g（x）与y=e-x的图象关于y轴对称．
（1）若函数y=f[g（x）]为奇函数，求a的取值．
（2）当a=0时，若关于x的方程f[g(x)]=
g(x)
m
有两个不等实根，求m的范围；
（3）当|a|＜1时，求方程f（x）=g（x）的实数根个数，并加以证明．
已知二次函数f（x）=ax2+x．
（1）设函数g（x）=（1-2t）x+t2-1，当a=1，函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（-2，4）内有两个相异的零点，求实数t的取值范围．
（2）当a＞0，求证对任意两个不等的实数x1，x2，都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
；
（3）若x∈[0，1]时，-1≤f（x）≤1，求实数a的取值范围．
定义在R上的单调递减函数y=f（x）满足f（1-x）=-f（1+x），且对于任意x，y∈R，不等f（x2-2x）+f（y2-2y）≥0恒成立，则当x≥1时，
yx
的取值范围为
[-1，3]
[-1，3]
．
（2012•肇庆二模）设函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的图象与直线y=4相切于M（1，4）．
（1）求y=f（x）在区间（0，4]上的最大值与最小值；
（2）是否存在两个不等正数s，t（s＜t），当s≤x≤t时，函数f（x）=x3+ax2+bx的值域是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t；若不存在，请说明理由．

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