Question

定义在R上的单调递减函数y=f（x）满足f（1-x）=-f（1+x），且对于任意x，y∈R，不等f（x²-2x）+f（y²-2y）≥0恒成立，则当x≥1时，

y

x

的取值范围为

[-1，3]

．

Answer 1

分析：先根据函数f（x）的性质化简不等式f（x²-2x）+f（y²-2y）≥0，得到关于x，y的约束条件，画出约束条件 的可行域，然后分析

y

x

的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解．

解答：解：∵f（1-x）=-f（1+x），
∴f（2-x）=-f（x），
又∵f（x²-2x）+f（y²-2y）≥0
∴f（x²-2x）≥-f（y²-2y）
∴f（x²-2x）≥f（2-y²+2y）
∵定义在R上的单调递减函数y=f（x）
∴x²-2x≤2-y²+2y
即（x-1）²+（y-1）²≤4，表示一个圆，又x≥1
如下图所示：
又∵

y

x

表示的是可行域内一点与原点连线的斜率
当x=1，y=3时，

y

x

有最大值 3；
当x=1，y=-1时，

y

x

有最小值-1
故答案为：[-1，3]

点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．