Question

如图，简单组合体ABCDPE，其底面ABCD为边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2．
（1）若N为线段PB的中点，求证：EN∥平面ABCD；
（2）求点D到平面PBE的距离．

Answer 1

分析：解法1（几何法）：（1）连接AC与BD交于点F，连接NF，根据中位线定理及平行四边形判定定理和性质，可得NE∥FC，进而由线面平行的判定定理得到EN∥平面ABCD
（2）连接DE，可得BC是三棱锥B-PDE的高，利用等积法，根据棱锥D-PBE与棱锥B-PDE是同一棱锥，体积相等，可求出点D到平面PBE的距离
解法2（向量法）：（1）以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系，根据直线EN的方向向量与平面ABCD的法向量垂直，可证得EN∥平面ABCD；
（2）求出平面PBE的法向量为

n

，根据点D到平面PBE的距离d=

DP • n

| n |

，可得点D到平面PBE的距离

解答：解：（1）解法1（几何法）：
连接AC与BD交于点F，连接NF，…..（1分）
∵F为BD的中点，
∴NF∥PD且NF=

1

2

PD….3分
又EC∥PD，且EC=

1

2

PD，
∴NF∥EC，且NF=EC，
∴四边形NFCE为平行四边形，…．…4分
∴NE∥FC．…．…．…．….5分
∵NE?平面ABCD，且FC?平面ABCD
所以EN∥平面ABCD；….6分
（2）连接DE，由题PD⊥BC，且DC⊥BC，故BC是三棱锥B-PDE的高，
在直角梯形PDCE中，可求得PD=

5

，且BE=

5

由（1）所以EN⊥PB…9分
VB-PDE=

1

3

S△PDE•BC=

1

3

•2•2=

4

3

，…．…．…11分
又S△PBE=

1

2

•

2

•(2

3

)=

6

，…．…．…12分
设所求的距离为d，则d=

3VB-PDE

S△PBE

=

2 6

3

…．…．…..14分
解法2（向量法）：
（1）以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示：…．…1分，
则B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，2，1），N（1，1，1），…．…．…．…2分
∴

EN

=（1，-1，0），

DB

=(0，0，2)…..3分

EN

•

DP

=0+0+0=0
∴EN⊥PD，…．…．…4分
又

DP

是平面ABCD的法向量
∵NE?平面ABCD
所以EN∥平面ABCD；….6分
（2）由（1）可知

PB

=(2，2，-2)，

PE

=(0，2，-1)，….8分
设平面PBE的法向量为

n

=(x，y，z)
由

n

•

PB

=0，

n

•

PE

=0得

2x+2y-2z=0 2y-z=0

…．…10分
解得其中一个法向量为

n

=(1，1，2)…..11分
点D到平面PBE的距离为d，则d=

DP • n

| n |

=

(0，0，2)•(1，1，2)

1+1+4

=

2 6

3

…14分

点评：本题考查的知识点是用空间向量求点到面的距离，直线与平面平行的判定，几何法证明要掌握掌握空间线面关系的判定定理及性质定理，向量法证明关键是建立空间坐标系，将空间线面夹角转化为向量夹角，将空间点面距离转化为向量的投影．