Question

12．已知圆（x-a）²+（y-b）²=1与两直线l₁：3x-4y-1=0和l₂：4x+3y+1=0都有公共点，则$\frac{b}{a+2}$的取值范围为（　　）

• A． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$]
• B． [$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]
• C． （-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{3}{4}$，+∞）
• D． [-$\frac{21}{22}$，$\frac{14}{27}$]

Answer 1

分析 圆（x-a）²+（y-b）²=1与二直线l₁：3x-4y-1=0和l₂：4x+3y+1=0都有公共点，可得圆心C到直线的距离小于等于半径，即可求$\frac{b}{a+2}$的取值范围．

解答 解：∵圆：（x-a）²+（y-b）²=1，圆心为C（a，b），半径为1．
∵直线l₁：3x-4y-1=0和圆：（x-a）²+（y-b）²=1有公共点，
∴圆心C到直线的距离：$\frac{|3a-4b-1|}{5}$≤1，即$\left\{\begin{array}{l}{3a-4b-6≤0}\\{3a-4b+4≥0}\end{array}\right.$…①
∵直线l₂：4x+3y+1=0和圆：（x-a）²+（y-b）²=1有公共点，
∴圆心C到直线的距离：$\frac{|4a+3b+1|}{5}$≤1，即$\left\{\begin{array}{l}{4a+3b-4≤0}\\{4a-3b+6≥0}\end{array}\right.$…②
∴作出①②不等式组表示的平面区域如图：

∴由$\left\{\begin{array}{l}{3a-4b+4=0}\\{4a+3b-4=0}\end{array}\right.$得B（$\frac{4}{25}$，$\frac{28}{25}$）．E（-2，0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{3a-4b-6=0}\\{4a+3b+6=0}\end{array}\right.$得D（-$\frac{6}{25}$，-$\frac{42}{25}$）
∴由$\frac{b}{a+2}$的几何意义可得，最大值为k_BE=$\frac{14}{27}$，最小值为k_ED=-$\frac{21}{22}$，
∴$\frac{b}{a+2}$的取值范围为[-$\frac{21}{22}$，$\frac{14}{27}$]，
故选：D．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，