Question

已知平面ADEF⊥平面ABCD，其中ADEF为矩形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=2CD=2DE=4，AD=2

2

，如图所示．
（Ⅰ）求证：BE⊥AC；
（Ⅱ）求二面角B-CE-D的余弦值；
（Ⅲ）在线段AF上是否存在点P，使得BP∥平面ACE，若存在，确定点P的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空间坐标系，利用线面垂直的性质证明BE⊥AC；
（Ⅱ）利用向量法求二面角B-CE-D的余弦值；
（Ⅲ）根据线面平行的判定定理和性质定理确定P的位置．

解答：解：（Ⅰ）证明：平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，由已知可得AF⊥AD，且AF?面ADEF，
所以AF⊥平面ABCD，又AB⊥AD，
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyx，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（2，2

2

，0），
E（0，2

2

，2），所以

BE

=(-4，2

2

，2)，

AC

=(2，2

2

，0)，
所以

BE

•

AC

=0，所以BE⊥AC．
（Ⅱ）由已知可得AD⊥CD，AD⊥DE，设平面CED的一个法向量为

n1

=(0，1，0)，
平面BCE的法向量为

n2

=(x，y，z)，则有

n2 ? BE =0 n2 ? BC =0

，即

-4x+2 2 y+2z=0 -2x+2 2 y=0

，
令y=1，所以平面BCE的一个法向量为

n2

=(

2

，1，

2

)，
所以cos?＜

n1

，

n2

＞=

n1 ? n2

| n1 || n2 |

=

5

5

，所以二面角B-CE-D的余弦值为-

5

5

．
（Ⅲ）设P（0，0，z），0≤z≤2，

BP

=(-4，0，z)，设平面ACE的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n ? AE =0 n ? AC =0

，即

2 2 y+2z=0 2x+2 2 y=0

，不妨设y=1，则平面ACE的法向量为

n

=(-

2

，1，-

2

)，
由

BP

•

n

=(-4，0，z)•(-

2

，1，-

2

)=0，解得z=4，不符合题意，
即线段AF上不存在点P，使BP∥平面ACE．

点评：本题主要考查空间直线和平面位置的关系判断以及空间角的求法，要求熟练掌握相应的定理和性质定理．