题目内容

△ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：
（1）（a+b+c）（a+b-c）=3ab
（2）sinA=2cosBsinC
（3）b=acosC，c=acosB
（4）2R(sin2A-sin2C)=(
2
a-b)sinB
有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．
请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题
 
．
分析：若（1）（2）→甲，由（1）利用平方差及完全平方公式变形得到关于a，b及c的关系式，利用余弦定理表示出cosC，把得到的关系式代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C为60°，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简（2）中的等式，得到sin（B-C）=0，由B和C为三角形的内角，得到B-C的范围，利用特殊角的三角函数值得到B=C，从而得到三角形为等边三角形；
若（2）（4）→乙，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简（2）中的等式，得到sin（B-C）=0，由B和C为三角形的内角，得到B-C的范围，利用特殊角的三角函数值得到B=C，再利用正弦定理化简（4）中的等式，得到a=
2
b，利用勾股定理的逆定理得到∠A为直角，从而得到三角形为等腰直角三角形；
若（3）（4）→乙，利用正弦定理化简（4）中的等式，得到a=
2
b，利用勾股定理的逆定理得到∠A为直角，再利用正弦定理化简（3）中的两等式，分别表示出sinA，两者相等再利用二倍角的正弦函数公式，得到sin2B=sin2C，由B和C都为三角形的内角，可得B=C，从而得到三角形为等腰直角三角形．三者选择一个即可．
解答：解：由（1）（2）为条件，甲为结论，得到的命题为真命题，理由如下：
证明：由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，变形得：
a2+b2+2ab-c2=3ab，即a2+b2-c2=ab，
则cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
1
2
，又C为三角形的内角，
∴C=60°，
又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，
即sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∵-π＜B-C＜π，
∴B-C=0，即B=C，
则A=B=C=60°，
∴△ABC是等边三角形；
以（2）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：
证明：化简得：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，
即sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∵-π＜B-C＜π，
∴B-C=0，即B=C，
∴b=c，
由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R得：
sinA=
a
2R
，sinB=
b
2R
，sinC=
c
2R
，
代入2R(sin2A-sin2C)=(
2
a-b)sinB得：
2R•（
a2
4R2
-
c2
4R2
）=（
2
a-b）•
b
2R
，
整理得：a2-b2=
2
ab-b2，即a2=
2
ab，
∴a=
2
b，
∴a2=2b2，又b2+c2=2b2，
∴a2=b2+c2，
∴∠A=90°，
则三角形为等腰直角三角形；
以（3）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：
证明：由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R得：
sinA=
a
2R
，sinB=
b
2R
，sinC=
c
2R
，
代入2R(sin2A-sin2C)=(
2
a-b)sinB得：
2R•（
a2
4R2
-
c2
4R2
）=（
2
a-b）•
b
2R
，
整理得：a2-b2=
2
ab-b2，即a2=
2
ab，
∴a=
2
b，
∴a2=2b2，又b2+c2=2b2，
∴a2=b2+c2，
∴∠A=90°，
又b=acosC，c=acosB，
根据正弦定理得：sinB=sinAcosC，sinC=sinAcosB，
∴
sinB
cosC
=
sinC
cosB
，即sinBcosB=sinCcosC，
∴sin2B=sin2C，又B和C都为三角形的内角，
∴2B=2C，即B=C，
则三角形为等腰直角三角形．
故答案为：（1）（2）→甲 或 （2）（4）→乙 或 （3）（4）→乙
点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，勾股定理，等边三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，属于条件开放型题，是一类背景新、解题活、综合性强、无现成模式的题型．解答此类题需要运用观察、类比、猜测、归纳、推理等多种探索活动寻求解题策略．
练习册系列答案
相关题目
已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=
3
，A+C=2B，则sinC=（　　）
A、0B、2C、1D、-1
△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a，b，c，给出下列命题：
①若sinBcosC＞-cosBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；
②若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC一定是直角三角形；
③若bcosA=acosB，则△ABC为等腰三角形；
④在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列
（1）若sinC=2sinA，求cosB的值；
（2）求角B的最大值．并判断此时△ABC的形状．
已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，
m
=(-
3
，sinA)，
n
=(cosA，1)，且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为
3
，求b，c．
已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=
3
，B=60°，则sinC=
1
1
．

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