Question

如图，已知A₁，A₂分别为椭圆的下顶点和上顶点，F为椭圆的下焦点，P为椭圆上异于A₁，A₂点的任意一点，直线A₁P，A₂P分别交直线l：y=m（m＜-2）于M，N点
（1）当点P位于y轴右侧，且PF∥l时，求直线A₁M的方程；
（2）是否存在m值，使得以MN为直径的圆过F点？若存在加以证明，若不存在，请说明理由；
（3）由（2）问所得m值，求线段MN最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）PF∥l时，P点坐标为P（）．由A₁（0，-2）．能求出直线A₁M方程
（2）设A₁M：y=k₁x-2，由，得M（，m），=（，m+1）．设A₂N：y=k₂x+2，由，得N（，m），=（，m+1）．若以MN为直径的圆过点F，则，由此能求出m=-4．
（3）由m=-4，知M（-，-4），N（），所以|MN|=6，由此能求出|MN|最小值．
解答：解：（1）∵椭圆的下焦点F（0，-1），
点P在椭圆上，且点P位于y轴右侧，
∴PF∥l时，P点坐标为P（x，-1），（x＞0），
把P（x，-1）（x＞0）代入椭圆，
得，
解得x=，∴P（）．
∵A₁为椭圆的下顶点，
∴A₁（0，-2）．
∴直线A₁M方程：，
即2x-3y-6=0．（3分）
（2）∵A₁，A₂分别为椭圆的下顶点和上顶点，
∴A₁（0，-2），A₂（0，2），
设A₁M：y=k₁x-2，由，得M（，m），
∴=（，m+1）．
设A₂N：y=k₂x+2，由，得N（，m），
∴=（，m+1）．
若以MN为直径的圆过点F，则，
得．（5分）
∵．（7分）
∴，
∴m=-4．（9分）
（3）∵m=-4，
∴M（-，-4），N（），
∴
∴|MN|=6，
当且仅当时，
|MN|最小值为6．（12分）
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．