Question

如图，已知抛物线C：y²=4x，过点P(

5

2

，1)的直线l与抛物线C交点A、B两点，且点P为弦AB的中点．
（ I）求直线l的方程；
（ II）若过点P斜率为-2的直线m与抛物线C交点A₁、B₁两点，求证：PA•PB=PA₁•PB₁；
（ III）过线段AB上任意一点P₁（不含端点A、B）分别做斜率为k₁、k₂（k₁≠k₂）的直线l₁，l₂，若l₁交抛物线C于A₁、B₁两点，l₂交抛物线C于A₂，B₂两点，且：P₁A₁•P₁B₁=P₁A₂•P₁B₂，试求k₁+k₂的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用“点差法”即可得出直线的斜率，再利用点斜式即可得出；
（Ⅱ）把直线参数方程代入抛物线方程，利用参数的几何意义即可证明；
（Ⅲ）把直线参数方程代入抛物线方程，利用参数的几何意义即可求出．

解答：解：（Ⅰ）设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，
两式相减得

y

2 1

-

y

2 2

=4(x1-x2)，∴

(y1-y2)(y1+y2)

x1-x2

=4，∴k_l×2=4，解得k_l=2．
∴直线l的方程为y-1=2(x-

5

2

)，化为2x-y-4=0．
（Ⅱ）证明：①直线l的参数方程为

x= 5 2 + 1 5 t y=1+ 2 5 t

，代入抛物线方程得(1+

2

5

t)2=4(

5

2

+

1

5

t)，
化为t2=

45

4

，由参数的几何意义可得PA•PB=-

45

4

．
②由直线m的斜率为-2且过点P，可得参数方程为

x= 5 2 - 1 5 t y=1+ 2 5 t

，代入抛物线方程得(1+

2

5

t)2=4(

5

2

-

1

5

t)，
化为4t2+8

5

t-45=0，由参数的几何意义可得PA₁•PB₁=-

45

4

．
因此PA•PB=PA₁•PB₁．
（Ⅲ）设点P₁（u，v），直线l₁、l₂的倾斜角分别为α、β，则k₁=tanα，k₂=tanβ，且α，β∈(0，

π

2

)∪(

π

2

，π)．
则直线l₁的参数方程为

x=u+tcosα y=v+tsinα

，代入抛物线方程得（v+tsinα）²=4（u+tcosα），
化为t²sin²α+（2vsinα-4cosα）t+v²-4u=0，
∵△＞0，∴t₁t₂=

v2-4u

sin2α

=P₁A₁•P₁B₁
同理

v2-4u

sin2β

=P₁A₂•P₁B₂
∵P₁A₁•P₁B₁=P₁A₂•P₁B₂
∴sin²α=sin²β，∴sinα=sinβ，而α≠β，∴α=π-β．
∴k₁+k₂的值=tanα+tanβ=-tanβ+tanβ=0．

点评：熟练掌握“点差法”直线的点斜式、直线与抛物线相交问题的解题模式、根与系数的关系、直线参数的几何意义是解题的关键．