Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，圆：过椭圆的三个顶点，过点的直线（斜率存在且不为0）与椭圆交于两点．

（1）求椭圆的标准方程．

（2）证明：在轴上存在定点，使得为定值，并求出定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析，定点

【解析】

（1）先判断圆经过椭圆的上、下顶点和右顶点，令圆方程中的，得，即．再由求即可.

（2）设在轴上存在定点，使得为定值，根据题意，设直线的方程为，联立可得，再运算

将韦达定理代入化简有与k无关即可.

（1）由圆方程中的时，的两根不为相反数，

故可设圆经过椭圆的上、下顶点和右顶点，

令圆方程中的，得，即有．

又，解得．

∴椭圆的标准方程为．

（2）证明：设在轴上存在定点，使得为定值，

由（1）可得，设直线的方程为，

联立可得，

设，则，

，

要使为定值，只需，解得．

∴在轴上存在定点，使得为定值，定点的坐标为．