Question

4．（1）设数列{a_n}中，a₁=2．a_n+1=a_n+n+1．则通项a_n=$\frac{{n}^{2}+n+2}{2}$；
（2）数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=3a_n+2，则它的一个通项公式为a_n=-1+2•3^n-1；
（3）在数列{a_n}中．a₁=1．前n项和S_n=$\frac{n+2}{3}{a}_{n}$．则{a_n} 的通项公式为a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1=a_n+n+1可知a_n+1-a_n=n+1，从而a_n-a_n-1=n、a_n-1-a_n-2=n-1、…、a₂-a₁=2，利用累加法计算即得结论；
（2）通过对a_n+1=3a_n+2变形可知a_n+1+1=3（a_n+1），进而可知数列{a_n+1}是首项为2、公比为3的等比数列，计算即得结论；
（3）当n≥2时利用a_n=S_n-S_n-1计算、整理可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，从而$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n}{n-2}$、$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$=$\frac{n-1}{n-3}$、…、$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{1}$，进而利用累乘法计算即得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=a_n+n+1，
∴a_n+1-a_n=n+1，
∴a_n-a_n-1=n，a_n-1-a_n-2=n-1，…，a₂-a₁=2，
累加得：a_n-a₁=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$，
又∵a₁=2，
∴a_n=2+$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+n+2}{2}$；
（2）∵a_n+1=3a_n+2，
∴a_n+1+1=3（a_n+1），
又∵a₁+1=1+1=2，
∴数列{a_n+1}是首项为2、公比为3的等比数列，
∴a_n+1=2•3^n-1，
∴a_n=-1+2•3^n-1；
（3）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n+2}{3}{a}_{n}$-$\frac{n+1}{3}$a_n-1，
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，
∴$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n}{n-2}$，$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$=$\frac{n-1}{n-3}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{1}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$（n≥2），
又∵a₁=1满足上式，
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
故答案为：$\frac{{n}^{2}+n+2}{2}$，-1+2•3^n-1，$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．