Question

9．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足$\frac{a}{6}$=$\frac{b}{4}$=$\frac{c}{3}$，则$\frac{sin2A}{sinB+sinC}$=（　　）

• A． -$\frac{11}{14}$
• B． $\frac{12}{7}$
• C． -$\frac{11}{24}$
• D． -$\frac{7}{12}$

Answer 1

分析 由题意设$\frac{a}{6}$=$\frac{b}{4}$=$\frac{c}{3}$=k，可得a=6k，b=4k，c=3k，由余弦定理可得cosA，再由正弦定理可得$\frac{sin2A}{sinB+sinC}$=$\frac{2acosA}{b+c}$，代值化简可得．

解答 解：由题意设$\frac{a}{6}$=$\frac{b}{4}$=$\frac{c}{3}$=k，（k＞0），
则a=6k，b=4k，c=3k，
∴由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$
=$\frac{16{k}^{2}+9{k}^{2}-36{k}^{2}}{2•4k•3k}$=-$\frac{11}{24}$，
∴由正弦定理可得$\frac{sin2A}{sinB+sinC}$=$\frac{2sinAcosA}{sinB+sinC}$
=$\frac{2acosA}{b+c}$=$\frac{2•6k•（-\frac{11}{24}）}{4k+3k}$=-$\frac{11}{14}$，
故选：A．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，整体代入是解决问题的关键，属中档题．