Question

18．已知O为△ABC所在平面内一点，且$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{BC}$²=$\overrightarrow{OB}$²+$\overrightarrow{CA}$²=$\overrightarrow{OC}$²+$\overrightarrow{AB}$²，则O一定为△ABC的垂心．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$表示出$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{CA}$，代入条件式整理即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，
∴${\overrightarrow{OA}}^{2}$+（$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$）²=${\overrightarrow{OB}}^{2}+（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}）^{2}$=${\overrightarrow{OC}}^{2}$+（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）²．
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}•（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$=$\overrightarrow{OA}•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}）$=$\overrightarrow{OB}•（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}）$=0．
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{CA}=0$．
∴OC⊥AB，OA⊥BC，OB⊥AC．
∴O是△ABC的垂心．
故答案为：垂心．

点评 本题考查了向量在几何中应用，主要利用向量的线性运算以及数量积进行化简证明，特别证明垂直主要根据题意构造向量利用数量积为零进行证明．