Question

如图，F₁，F₂分别是双曲线C：-=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F₁B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF₂|=|F₁F₂|，则C的离心率是    ．

Answer 1

【答案】分析：依题意可求得直线F₁B的方程，与双曲线C的方程联立，利用韦达定理可求得PQ的中点坐标，从而可得线段PQ的垂直平分线的方程，继而可求得M点的坐标，从而可求得C的离心率．
解答：解：依题意F₁（-c，0），B（0，b），
∴直线F₁B的方程为：y-b=x，与双曲线C的方程联立得：b²x²-a²=0，
整理得：x²-x-a²b²=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁，x₂为上面方程的两根，由韦达定理得：x₁+x₂=，y₁+y₂=（x₁+x₂）+2b=，
∴PQ的中点N（，），又直线MN的斜率k=-（与直线F₁B垂直），
∴直线MN的方程为：y-=-（x-），令y=0得M点的横坐标x=c+=．
∵|MF₂|=|F₁F₂|，
∴-c=2c．
∴c²=3b²=3（c²-a²），
∴c²=a²，
∴e==．
故答案为：．
点评：本题考查直线与双曲线相交，考查韦达定理的应用，考查综合分析与计算能力，属于难题．