Question

如图，F₁、F₂分别为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点，椭圆的右准线l与x轴交于A点，若F₁（-1，0），且

AF1

=2

AF2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₁、F₂作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P、Q、M、N四点，求四边形PMQN面积的取值范围．

Answer 1

分析：（I） 先确定A点坐标为（a²，0），利用

AF1

=2

AF2

，可得F₂是AF₁的中点，由此可求椭圆方程；
（II）当直线MN与PQ中有一条与x轴垂直时，四边形PMQN面积S=

1

2

|MN|•|PQ|=4；当直线PQ，MN均与x轴不垂直时，设直线PQ、MN的方程与椭圆方程联立，求得|PQ|，|MN|，表示出四边形PMQN面积，再换元，即可求得四边形PMQN面积的取值范围．

解答：解：（I） 由F₁（-1，0）得c=1，∴A点坐标为（a²，0）；…（2分）
∵

AF1

=2

AF2

，∴F₂是AF₁的中点，∴a²=3，b²=2
∴椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1…（5分）
（II）当直线MN与PQ中有一条与x轴垂直时，四边形PMQN面积S=

1

2

|MN|•|PQ|=4；…（6分）
当直线PQ，MN均与x轴不垂直时，不妨设PQ：y=k（x+1）（k≠0），
联立

y=k(x+1) x2 3 + y2 2 =1

代入消去y得（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）则x1+x2=

-6k2

2+3k2

，x1x2=

3k2-6

2+3k2

…（8分）
∴|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

4 3 (k2+1)

2+3k2

，同理|MN|=

4 3 ( 1 k2 +1)

2+3 1 k2

∴四边形PMQN面积S=

1

2

|MN||PQ|=

24(k2+ 1 k2 +2)

6(k2+ 1 k2 )+13

…（10分）
令u=k2+

1

k2

，则u≥2，S=

24(u+2)

6u+13

=4-

4

6u+13

，则S是以u为变量的增函数
所以当k=±1，u=2时，Smin=

96

25

，∴

96

25

≤S＜4
综上可知，

96

25

≤S≤4，∴四边形PMQN面积的取值范围为[

96

25

，4]…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查四边形面积的计算，直线方程与椭圆方程联立，正确表示四边形的面积是关键．