题目内容

已知f（x）= $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的反函数f^-1（x）的解析式及其定义域；
（2）判断函数f^-1（x）在其定义域上的单调性并加以证明；
（3）若当 $数学公式$ 时，不等式 $数学公式$ 恒成立，试求a的取值范围．

解：（1）令y=x，则有x= $\text{[math]}$
解得： $\text{[math]}$ ；（4分）
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，则 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
由0＜x₁＜x₂＜1，有所以f^-1（x₁）-f^-1（x₂）＜0，即函数f^-1（x）在其定义域上的单调递增．（8分）
（3）当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，
即不等式 $\text{[math]}$ 恒成立
当1+a＞0即a＞-1时，原命题等价于 $\text{[math]}$ 恒成立，由 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ ，从而得 $\text{[math]}$
当1+a=0即a=-1时，不等式 $\text{[math]}$ 不成立
当1+a＜0即a＜-1时，原命题等价于 $\text{[math]}$ 恒成立，
由 $\text{[math]}$ 所以 $\text{[math]}$ ，又a＜-1，所以a不存在．综上可得： $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（1）将x，y互换，解得y即可．
（2）用单调性定义证明，先任取两变量，界定大小，再作差变形看符号．
（3）将反函数代入，整理为不等式 $\text{[math]}$ 恒成立求解，注意讨论．
点评：本题主要考查如何求函数的反函数，单调性定义证明及不等式恒成立问题．