题目内容

已知直线l与椭圆 $数学公式$ 交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为 $数学公式$ ，向量 $数学公式$ =（ax₁，by₁）， $数学公式$ =（ax₂，by₂），且 $数学公式$ ⊥ $数学公式$ ，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）判断△AOB的面积是否为定值，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

解：（Ⅰ）由题意可知 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴b²=a²-c²=1
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）△AOB的面积为定值1．
∵ $\text{[math]}$ ，∴a²x₁x₂+b²y₁y₂=0，∴4x₁x₂+y₁y₂=0
①若直线l斜率不存在，设直线l的方程为x=p，则x₁=x₂=p，y₁=-y₂，
∵4x₁x₂+y₁y₂=0，∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴S_△AOB= $\text{[math]}$ =1；
②若直线l斜率存在，设直线l的方程为y=kx+r，代入椭圆方程，可得（4+k²）x²+2krx+r²-4=0
∴x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
∵4x₁x₂+y₁y₂=0
∴（4+k²）x₁x₂+kr（x₁+x₂）+r²=0
∴r²-4- $\text{[math]}$ +r²=0
∴2r²=4+k²，∴r²≥2
∴△=16（k²-r²+4）＞0
设原点O到直线l的距离为d，则S_△AOB= $\text{[math]}$ d•|AB|= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
综上可知，△AOB的面积为定值1．
分析：（Ⅰ）利用椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为 $\text{[math]}$ ，确定椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）先利用向量知识，可得4x₁x₂+y₁y₂=0，再分类讨论，求出面积，即可求得结论．
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．