Question

9．如图所示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，当P点由点B（起点）向点A（终点）沿逆时针方向移动（B→C→D→A）时，三点A、B、P构成△ABP，求：
（1）△ABP的面积y关于点P移动的路程x的函数关系式；
（2）当路程x为多少时面积y有最大值？并求此最大值．

Answer 1

分析 （1）可以看出需讨论P点分别在边BC、CD，和DA上，然后根据三角形的面积公式即可求出每种情况下△ABP的面积，这样可用分段函数表示出y与x的函数关系式；
（2）△ABP的底边固定不变，从而高最大时，△ABP的面积最大，从图形上看出P点在边CD上时，面积取到最大值，从而可得出x的范围及面积的最大值．

解答 解：（1）①当P点在边BC上时，${S}_{△ABP}=\frac{1}{2}•AB•BP=\frac{1}{2}•4•x=2x$，0＜x≤4；
②当P点在边CD上时，${S}_{△ABP}=\frac{1}{2}×4×4=8$，4＜x≤8；
③当P点在边DA上时，${S}_{△ABP}=\frac{1}{2}•4•[4-（x-8）]$=-2x+24，8＜x＜12；
∴$y=\left\{\begin{array}{l}{2x}&{0＜x≤4}\\{8}&{4＜x≤8}\\{-2x+24}&{8＜x＜12}\end{array}\right.$；
（2）可看出当P点在边CD上时，面积最大；
即x∈[4，8]时，△ABP的面积最大，最大面积为8．

点评 考查三角形的面积公式，分段函数的概念及表示，要清楚P点是从B出发．