Question

6．已知函数f（x）=sinx•cos（x-$\frac{π}{6}$）+cos²x-$\frac{1}{2}$．
（1）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值x时的取值集合；
（2）求函数f（x）在[一$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上的减区间．

Answer 1

分析 （1）利用差角公式和将次公式展开，再用两角和的正弦公式化成f（x）=Asin（ωx+φ）形式，求出最大值即对应的x；
（2）求出f（x）的减区间，再求减区间与[一$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]的交集即可．

解答 解：（1）f（x）=sinx•cos（x-$\frac{π}{6}$）+cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$sin²x+cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$cos2x+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$．
∴f（x）的最大值是$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
令2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，解得x=$\frac{π}{6}$+kπ．
∴当f（x）取得最大值时x的取值集合是{x|x=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z}．
（2）令$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，
解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，即f（x）的单调递减区间是[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．
当k=0时，[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]∩[一$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]=[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
当k=-1时，[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]∩[一$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]=∅，
当k=1时，[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]∩[一$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]=∅，
∴f（x）在[一$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上的减区间是[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换及性质，对函数进行化简是解题关键．