Question

2010上海世博会期间，假设在6号门早晨6时30分有2人进园，第一个30分钟内有4人进去并出来1人，第二个30分钟内进去8人并出来2人，第三个30分钟进去16人并出来3人，第四个30分钟内进去32人并出来4人…按照这种规律进行下去，到上午11时30分从6号门入园的人数是（ ）
A．2¹²-47
B．2¹²-57
C．2¹³-68
D．2¹⁴-80

Answer 1

【答案】分析：先设每个30分钟进去的人数构成数列{a_n}，确定求数列{a_n}的通项公式，由于从早晨6时30分到上午11时30分，共有11个30分钟，故需求数列{a_n}的前11项和，再由等比数列前n项和公式即可得上午11时30分园内的人数．
解答：解：设每个30分钟进去的人数构成数列{a_n}，则
a₁=2=2-0，a₂=4-1，a₃=8-2，a₄=16-3，a₅=32-4，…，a_n=2ⁿ-（n-1）
设数列{a_n}的前n项和为S_n，依题意，
只需求S₁₁=（2-0）+（2²-1）+（2³-2）+…+（2¹¹-10）=（2+2²+2³+…+2¹¹）-（1+2+…+10）
==2¹²-57
故选B．
点评：本题考查数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，考查将实际问题转化为数学问题，运用数学知识解决问题的能力，属于中档题．