Question

若数列{a_n}是等比数列，则下列命题正确的个数是（　　）
①{an2}，{a_2n}是等比数列   
②{lga_n}是等差数列
③{

1

an

}，{|a_n|}是等比数列   
④{ca_n}，{a_n±k}（k≠0）是等比数列．

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：根据等比数列的定义，可判断{an2}是一个以a₁²为首项，以q²为公比的等比数列，{a_2n}是一个以a₂为首项，以q²为公比的等比数列，{

1

an

}是一个以

1

a1

为首项，以

1

q

为公比的等比数列，{|a_n|}是一个以|a₁|为首项，以|q|为公比的等比数列，而其它不一定是等比数列

解答：解：若数列{a_n}是等比数列，且首项为a₁，公比为q，则a_n=a₁•q^n-1，
则an2=a₁²•q^2（n-1），这是一个以a₁²为首项，以q²为公比的等比数列，a_2n=a₁•q^2n-1=a₁q•q^2（n-1）=a₂•q^2（n-1），这是一个以a₂为首项，以q²为公比的等比数列，故①正确；
当q＜0时，数列{a_n}存在负项，此时lga_n无意义，故②错误；

1

an

=

1

a1

•

1

q

^（n-1），这是一个以

1

a1

为首项，以

1

q

为公比的等比数列，|a_n|=|a₁|•|q|^n-1，这是一个以|a₁|为首项，以|q|为公比的等比数列，故③正确；
当c=0时，ca_n=0，此时数列{ca_n}不是等比数列，当k=-a₁时，a₁+k=0，此时{a_n+k}不是等比数列，当k=a₁时，a₁-k=0，此时{a_n-k}不是等比数列，故④错误
故选C

点评：本题考查的知识点是等比数列，熟练掌握等比数列的定义是解答的关键．