Question

给出下列一些说法：
（1）已知△ABC中，acosB=bcosA，则△ABC为等腰或直角三角形．
（2）已知△ABC中，acosA=bcosB，则△ABC为等腰或直角三角形．
（3）已知数列{a_n}满足=p（p为正常数，n∈N*），则称{a_n}为“等方比数列”．若数列{a_n}是等方比数列则数列{a_n}必是等比数列．
（4）等比数列{a_n}的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为-2．
其中正确的说法的序号依次是    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用正弦定理，化简表达式，通过两角和与差的三角函数化简，即可判断三角形的形状．
（2）根据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A=sin2B，进而推断A=B，或A+B=90°．
（3）若{a_n} 为“等方比数列”，说明数列{a_n²}成公比为p的等比数列，而数列{a_n}的符号不能确定，故不一定成等比数列
（4）利用等比数列的通项公式，建立等式，即可求得等比数列的公比．
解答：解：（1）因为在△ABC中，acosB=bcosA，由正弦定理可知，sinBcosA=sinAcosB，
所以sin（A-B）=0，所以A-B=π，或A=B，因为A，B是三角形内角，所以A=B，三角形是等腰三角形，故（1）错误；
（2）根据正弦定理可知∵acosA=bcosB，
∴sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，
所以△ABC为等腰或直角三角形，故（2）正确；
（3）若数列{a_n} 为“等方比数列”，设足=p=1
可得数列{a_n} 的各项的绝对值相等，但符号不能确定．
比如：1，1，-1，-1，1，1，-1，-1，…，
就是一个等方比数列，而不是等比数列，故（3）错误；
（4）设等比数列的首项为a₁，公比为q，则a₁+a₁q+a₁q²=3a₁，
∵a₁≠0，∴1+q+q²=3，∴q²+q-2=0
∴q=-2或q=1，故（4）错误．
故答案为：（2）
点评：本题主要考查了正弦定理的应用、等比数列的通项与求和等知识，属中档题．