Question

如图，在四棱锥O—ABCD中，AD//BC，AB＝AD＝2BC，OB＝OD，M是OD的中点．

（1）求证：MC//平面OAB；

（2）求证：BD⊥OA．

 

Answer 1

证明：（1）设N是OA的中点，连结MN，NB．

因为M是OD的中点，所以MN//AD，且2MN＝AD．……………………………………2分

又AD//BC，AD＝2BC，

所以四边形BCMN是平行四边形，从而MC//NB．…………………………………………4分

又MC平面OAB，NB平面OAB，

所以MC//平面OAB；…………………………………………………………………………7分

（2）设H是BD的中点，连结AH，OH．

因为AB＝AD，所以AH⊥BD．

又因为OB＝OD，所以OH⊥BD．……………………………………………………………9分

因为AH平面OAH，OH平面OAH，AH∩OH＝H，

所以BD⊥平面OAH．………………………………………………………………………12分

因为OA平面OAH，所以BD⊥OA．……………………………………………………14分