Question

2．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左右焦点分别为F₁，F₂，若椭圆上存在点P使得|PF₁|=2|PF₂|，则椭圆的离心率范围是
（　　）

• A． [$\frac{1}{3}$，1）
• B． （$\frac{1}{3}$，1）
• C． [$\frac{2}{3}$，1）
• D． （$\frac{2}{3}$，1）

Answer 1

分析 |PF₁|+|PF₂|=2a，又|PF₁|=2|PF₂|，解得|PF₁|，|PF₂|，由于cos∠F₁PF₂∈（-1，1]，解出即可得出．

解答 解：∵|PF₁|+|PF₂|=2a，又|PF₁|=2|PF₂|，
解得|PF₁|=$\frac{4a}{3}$，|PF₂|=$\frac{2a}{3}$，
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{（\frac{4a}{3}）^{2}+（\frac{2a}{3}）^{2}-（2c）^{2}}{2×\frac{4a}{3}×\frac{2a}{3}}$∈（-1，1]，
∴$-1＜\frac{5-9{e}^{2}}{4}$≤1，
解得$\frac{1}{3}≤e＜1$．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、余弦定理、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．