题目内容

已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OP
=
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)，λ∈[0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
分析：先根据数量积为零求证
BC
与λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)垂直，设D为BC的中点，令
DP
=λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)，可得P在BC的垂直平分线上，由外心的定义可得．
解答：解：∵
BC
•(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)=-|
BC
|+|
BC
|=0
∴
BC
与λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)垂直，
设D为BC的中点，则
OB
+
OC
2
=
OD
，
令
DP
=λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)，可得
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)=
OD
+
DP
=
OP

∴点P在BC的垂直平分线上，即P经过△ABC的外心
故选D
点评：本题主要考查了空间向量的加减法，以及三角形的外心的知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
（理）已知O是平面上的一定点，在△ABC中，动点P满足条件
OP
=
OA
+λ（
AB
|
AB
| sinB
+
AC
|
AC
| sinC
），（其中λ∈[0，+∞））
，则P的轨迹一定△ABC通过的（　　）
（文）已知O是平面上的一定点，在△ABC中，动点P满足条件
OP
=
OA
+λ（
AB
+
AC
），其中λ∈[0，+∞）），则P的轨迹一定△ABC通过的（　　）

已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的（  ）

A．重心         B．垂心          C．外心        D．内心

 

已知O是平面上的一个定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足, ,则动点P的轨迹一定通过△ABC的（    ）

    A．垂心           B．重心           C．外心           D．内心

 

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