Question

设函数

(I)讨论的单调性；

（II）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（I）（1）当时，故在上单调递增 ；

（2）当时，的两根都小于，在上，，

故在上单调递增；

（3）分别在上单调递增，在上单调递减．

（II）不存在，使得 

【解析】

试题分析：（I）的定义域为        1分

令，其判别式                   2分

（1）当时，故在上单调递增        3分

（2）当时，的两根都小于，在上，，

故在上单调递增                       4分

（3）当时，的两根为，

当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．     6分

（II）由（I）知，．因为，

所以               7分

又由(I)知，．于是               8分

若存在，使得则．即．     9分

亦即                     0分

再由（I）知，函数在上单调递增，         11分

而，所以这与式矛盾．

故不存在，使得                       12分

考点：本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、极值，存在性问题探讨。

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过研究函数的单调区间，得到直线斜率表达式。存在性问题，往往要假设存在，利用已知条件探求。本题涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。