Question

已知f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1）是奇函数．
（1）求m的值；
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义列出方程恒成立，化简方程求出m的值，将m的值代入对数函数的真数，验真数是否大于0．
（2）利用导数的运算法则求出f′（x），通过讨论a，判断出导数的正负，判断出函数的单调性．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）+f（x）=loga

1+mx

-x-1

+loga

1-mx

x-1

=loga

1- m2x2

1-x2

对定义域内的任意x恒成立，
∴

1-m2x2

1-x2

=1，
∴（m²-1）x²=0，m=±1．
当m=1时，

1-mx

x-1

=-1，函数无意义，
∴m=-1．
（2）由（1）知，f（x）=log_a

x+1

x-1

，∴定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
求导得f′（x）=

-2

x2-1

lna
①当a＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，-1）与（1，+∞）内都是减函数；
②当0＜a＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，-1）与（1，+∞）上都是增函数．

点评：本题考查奇函数的定义、考查通过导函数的符号判断函数的单调性．