Question

【题目】如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”，规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，若AB=a，∠DAB=θ，种草的面积为S1 ， 种花的面积为S2 ， 比值 称为“规划和谐度”．

（1）试用a，θ表示S1 ， S2；
（2）若a为定值，BC足够长，当θ为何值时，“规划和谐度”有最小值，最小值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵BD=atanθ，

∴△ABD的面积为 （ ）

设正方形BEFG的边长为t，

则由 得 ，∵t= ，

∴S2= ，

∴S1= ﹣S2= ﹣ ，

（2）

解：由（1） = ﹣1，

∵tanθ∈（0，+∞），

∴ = ﹣1= （tanθ+ ≥1，

当且仅当tanθ=1时取等号，此时θ= ．

∴当θ= 时，“规划和谐度”有最小值，最小值是1．

【解析】（1）求出△ABD的面积为，设正方形BEFG的边长为t，利用三角形的相似求出S2 ， 然后求出S1；（2）由（1） = ﹣1，通过tanθ∈（0，+∞），通过基本不等式推出，当θ= 时，“规划和谐度”有最小值，最小值是1．