Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，．

（1）求证：CD⊥平面PAC；

（2）求二面角M-AB-C的大小；

（3）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）；（3）1．

【解析】

试题分析：（1）利用勾股定理与线面垂直的判定与性质进行证明；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角；（3）设,利用空间向量求线面角，得到关于的方程，解方程即可求解.

试题解析：（1）连结AC．

因为在△ABC中，

AB= AC=2，，

所以 ，

所以 ．

因为∥，

所以．

又因为 底面，

所以 ．

因为 ，

所以 CD⊥平面PAC． 4分

（2）如图建立空间直角坐标系，

则，，，，．

因为 M是棱PD的中点，

所以 ．

所以 ，．

设为平面MAB的法向量，

所以，

即 ，

令 ，则 ，

所以平面MAB的法向量．

因为 PA⊥平面ABCD，

所以 是平面ABC的一个法向量．

所以 ．

因为二面角M-AB-C 为锐二面角，

所以二面角M-AB-C的大小为． 10分

（3）因为N是在棱AB上一点，所以设，．

设直线CN与平面MAB所成角为，

因为平面MAB的法向量，

所以

．

解得，即，，所以 .

考点：1.线面垂直的判定定理；2.利用空间向量求线面角与二面角.