Question

【题目】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ， 底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别为A1B1、A1A的中点．

（1）求 ＞的值；
（2）求证：BN⊥平面C1MN；
（3）求点B1到平面C1MN的距离．

Answer 1

【答案】
（1）解：以CA所在直线为x轴，以CB所在直线为y轴，以CC1所在直线为z轴建立空间坐标系．

则A（1，0，0），B（0，1，0），A1 （1，0，2），B1 （ 0，1，2），C1（0，0，2），M（ ， ，2），

N（1，0，1），

∵ =（1，﹣1，2）， =（ 0，1，2）．

∴ = = = ．

（2）证明：∵ =（1，﹣1，1）， =（ ， ，0）， =（1，0，﹣1），

∴ = ﹣ +0=0， =1﹣0﹣1=0，∴ ， ，

∴BN⊥平面C1MN．

（3）解：设点B1到平面C1MN的距离为h，∵VB1﹣C1MN= ，

∴ ×（ MNMC1 ）h= ×（ B1MC1M ） NA1，

即 ×（ ）h= ×（ ）×1，∴h= ．

【解析】（1）建立空间坐标系，求出各个点的坐标，利用两个向量的夹角公式求得 ＞的值．（2）由 =0， =0，得到 ， ，从而得到BN⊥平面C1MN．（Ⅲ）设点B1到平面C1MN的距离为h，由VB1﹣C1MN= ，解方程求得 h 值．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题．