题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足 (n＋1) bn＝an＋1
，(n＋2) cn＝
，其中n∈N*．
（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；
（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．
【答案】（1）cn＝1．（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）由题意得，根据等差数列的通项公式求得
，即可
的通项公式；
（2）由
，递推化简，得到
，因为一切
，都有
，得到
，得到
，再利用等差数列的性质，即可得到数列
为等差数列。
试题解析：
（1）因为{an}是公差为2的等差数列，
所以an＝a1＋2(n－1)，
＝a1＋n－1，从而 (n＋2)
cn＝
－(a1＋n－1)＝n＋2，即cn＝1．
（2）由(n＋1)bn＝an＋1－，
得n(n＋1) bn＝nan＋1－Sn，
(n＋1)(n＋2) bn＋1＝(n＋1)an＋2－Sn＋1，
两式相减，并化简得an＋2－an＋1＝(n＋2) bn＋1－nbn．
从而 (n＋2) cn＝
－＝－[an＋1－(n＋1) bn]
＝
＋(n＋1) bn
＝
＋(n＋1) bn
＝ (n＋2)( bn＋bn＋1)．
因此cn＝ ( bn＋bn＋1)．
因为对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，所以λ≤cn＝ (bn＋bn＋1)≤λ，
故bn＝λ，cn＝λ．
所以 (n＋1)λ＝an＋1－， ①
(n＋2)λ＝ (an＋1＋an＋2)－， ②
②－①，得 (an＋2－an＋1)＝λ，即an＋2－an＋1＝2λ．
故an＋1－an＝2λ (n≥2)．
又2λ＝a2－
＝a2－a1，则an＋1－an＝2λ (n≥1)．
所以数列{an}是等差数列．
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