Question

【题目】已知函数fn（x）= x3﹣ （n+1）x2+x（n∈N*），数列{an}满足an+1=f'n（an），a1=3．
（1）求a2 ， a3 ， a4；
（2）根据（1）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）求证： + +…+ ＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，a1=3，又 ，

∴ ， ，

（2）解：猜想an=n+2，用数学归纳法证明：

当n=1时显然成立，

假设当n=k（k∈N*）时，ak=k+2，

则当n=k+1（k∈N*）时，

ak+1=ak2﹣（k+1）ak+1=（k+2）2﹣（k+1）（k+2）+1，

=k+3=（k+1）+2，

∴当n=k（k∈N*）时，猜想成立．

根据数学归纳法对一切n∈N*，an=n+2均成立

（3）证明：当k≥2时，有 ＜ ，

∴n≥2时，有 ＜1+ [（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…（ ﹣ ）]

=1+ （1﹣ ）＜1+ = ．

又n=1时， =1＜ ．

故对一切n∈N*，有 ＜

【解析】（1）先求导，再根据递推公式分别求出a2 ， a3 ， a4；（2）利用数学归纳法证明即可，（3）利用裂项求和和放缩法即可证明．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数学归纳法的定义的相关知识，掌握数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．